Tomografia Ottica – Back Projection

MODELLO MATEMATICO DI RICOSTRUZIONE

La Trasformata di Radon viene misurata utilizzando per un singolo angolo θ un fascio di fotoni parallelo. Lo studio effettuato per costruire un modello per la simulazione del cammino ottico della luce durante il processo di tomografia ha portato a concludere che questa ipotesi rimane valida solamente in un punto del contenitore molto vicino all’asse di rotazione.

RISOLUZIONE SPAZIALE

Si è cercato di determinare la risoluzione spaziale del tomografo utilizzando un fantoccio costituito da un reticolo avente una distanza tra le linee adiacenti di 1 mm. Nelle Figure 37-41 sono riportate le misure del fantoccio effettuate su di un angolo piatto.

Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente Angolo 0 — Figura 37 Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente. Angolo 0°.

Tomografia - Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente Angolo 45 — Figura 38 Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente. Angolo 45°

Tomografia - fantoccio ottico calcolo risoluzione spaziale — Figura 39 Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente. Angolo 90°

Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente Angolo 135 — Figura 40 Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente. Angolo 135°

Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente Angolo 180 — Figura 41 Proiezione del fantoccio costituito da un reticolo immerso nel gel trasparente. Angolo 180°

Il tentativo di calcolare la risoluzione spaziale del tomografo ottico ha messo in evidenza tutti i problemi dovuti al processo di rifrazione.

TOMOGRAFIA – ALGORITMO DI BACK PROJECTION

La ricostruzione della sezione di mezzeria effettuata con il metodo di back projection sulle 180 proiezioni acquisite è riportata in Figura 42. Per questa sezione il reticolo viene intersecato solo sulle linee longitudinali. Si osserva che la risoluzione tende a conservarsi solo al centro del contenitore: la definizione della ricostruzione degrada all’aumentare della distanza dal centro di rotazione della provetta.

fantoccio ricostruzione misura della risoluzione spaziale — Figura 42 Ricostruzione con algoritmo di filtered back projection eseguita sulla fetta centrale del FOV

Riprendendo il modello del capitolo 2 si evince che i problemi maggiori nella perdita in risoluzione sono proprio dovuti al fenomeno di rifrazione e riflessione. La deviazione dei fotoni produce degli artefatti a cometa sui punti di intersezione che il fantoccio presenta rispetto alla sezione in studio.

SIMULAZIONE DEL PROCESSO DI RIFRAZIONE

Il recupero in risoluzione spaziale può comunque avvenire osservando la simulazione numerica effettuata sul banco ottico e riportata nelle Figure 43-44. Il fascio visualizzato in Figura 44 verrà raccolto come una misura di una trasformata di Radon $g\left ( s,\theta_{0} \right )$ . Per misurare questa funzione si dovrebbe utilizzare un fascio di fotoni parallelo. Nella Figura 45 viene riportata una misura che permette di quantificare l’errore rispetto all’ipotesi di parallelismo del fascio: l’angolo di inclinazione $\Delta\theta_{f}$ che ogni traiettoria presenta rispetto all’angolo $\theta_{0}$ della trasformata $g\left ( s,\theta_{0} \right )$ .

La conoscenza della traiettoria corretta dei fotoni all’interno della provetta permette l’introduzione di un metodo che riesce a correggere l’aberrazione prodotta dal processo di rifrazione. Si vuole dettagliare accuratamente come avviene tale processo:

Una traiettoria di un fotone che abbia un’inclinazione di un angolo pari a $\Delta\theta_{f}$ rispetto a $\theta_{0}$ produrrà un artefatto per la trasformata di Radon $g\left ( s,\theta_{0} \right )$ ma potrà essere invece utilizzato come una misura corretta per la trasformata $g\left ( s,\theta_{0}+\Delta\theta_{f} \right )$ . La schematizzazione di questo processo è visualizzata nella Figura 46.

distribuzione fotoni processo misura dosimetro — Figura 43 Distribuzione e raccolta del fascio di fotoni durante un processo di misura – Distribuzione del fascio di fotoni all’interno del dosimetro

angolo inclinazione fotone dosimetro funzione distanza rotazione provetta — Figura 45 Angolo di inclinazione f di ogni fotone all’interno del dosimetro in funzione della distanza dall’asse di rotazione della provetta

Schema distribuzione misura trasformate di Radon angoli — Figura 46 Schema della distribuzione di una singola misura su un numero di trasformate di Radon definite da diversi angoli θ

Vale a dire che un dato di una misura effettuata al tempo t0 per un angolo di rotazione $\theta_{0}$ potrebbe essere utilizzato più correttamente per un’altra misura (un’altra trasformata di Radon) effettuata in precedenza oppure da ancora da eseguire. Operativamente la correzione dell’artefatto di rifrazione avviene effettuando due sfasamenti angolari su ogni sinogramma. Lo sfasamento angolare deve avvenire con la curva degli angoli di inclinazione $\Delta\theta_{f}$ riportata in Figura 45. Durante il processo di scansione la rotazione del fantoccio non avviene più soltanto su 180° ma è necessario anticipare e posticipare la misura del sinogramma finale con un angolo di circa 30-35°. L’angolo totale di rotazione sarà quindi superiore a 240° ed il tempo totale di scansione aumenterà proporzionalmente fino a 60 minuti.

CORREZIONE DEL SINOGRAMMA

La Figura 47 riporta il sinogramma prelevato su 240°. L’algoritmo di retroproiezione filtrata verrà applicato solo sulle trasformate di Radon misurate nell’intervallo tra i 30° ed i 210° (Le misure all’interno delle due strisce verticali di colore blu). I dati misurati nei primi e negli ultimi 30° del set di proiezioni sono necessari per correggere le misure all’interno dell’angolo piatto centrale. Il processo sullo sfasamento dei dati delle trasformate di Radon è riportato in Figura 48: lo sfasamento orizzontale degli elementi della matrice corrisponde proprio allo smistamento sulle diverse trasformate di Radon schematizzato in Figura 46.

trasformata radon sinogramma back projection retroproiezione — Figura 47 Sinogramma in falsi colori del metodo di correzione della rifrazione. La trasformata di Radon viene misurata su di un angolo di 240°

back projection filter resolution aliasing — Figura 48 Processo di correzione: sfasamento delle trasformate

Il risultato finale del processo di correzione del sinogramma è riportato in Figura 49. La matrice estesa fino ad un angolo di 240° viene troncata sulle colonne iniziali e finali in modo da recuperare le misure effettuate su un angolo di 180°. Nelle Figure 50-55 sono visualizzate le ricostruzioni del fantoccio eseguite con e senza il processo di ricostruzione descritto. La risoluzione spaziale di 1 mm/linea viene recuperata all’interno di tutta la provetta.

tomografia - sinogramma spatial resolution — Figura 49 Taglio dei bordi del sinogramma. L’angolo piatto di 180° viene recuperato per poter applicare l’algoritmo di retroproiezione filtrata

Figura 50 Confronto tra la ricostruzione normale e quella corretta effettuata sulla sezione n° 100

Figura 51 Confronto tra la ricostruzione normale e quella corretta effettuata sulla sezione n° 200

Figura 52 Confronto tra la ricostruzione normale e quella corretta effettuata sulla sezione n° 250

Figura 53 Confronto tra la ricostruzione normale e quella corretta effettuata sulla sezione n° 300

Figura 54 Confronto tra la ricostruzione normale e quella corretta effettuata sulla sezione n° 400

Figura 55 Confronto tra la ricostruzione normale e quella corretta effettuata sulla sezione n° 500

Consulenza Tecnica - Ing. Paolo Sordi

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MODELLO MATEMATICO DI RICOSTRUZIONE

TOMOGRAFIA – ALGORITMO DI BACK PROJECTION

SIMULAZIONE DEL PROCESSO DI RIFRAZIONE

CORREZIONE DEL SINOGRAMMA

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